Математика • 10 класс

Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона

Свойства чисел сочетаний:
- $C_{N}^{0} = C_{N}^{N} = 1$ ;
- $C_{N}^{1} = C_{N}^{N - 1} = N$ ;
- $C_{N}^{k} = C_{N}^{N - k} д л я л ю б ы х 0 \leq k \leq N$ ;
- $C_{N}^{0} + C_{N}^{1} + C_{N}^{2} + \dots + C_{N}^{N - 1} + C_{N}^{N} = 2^{N}$ ;
- $C_{N}^{k} = C_{N - 1}^{k - 1} + C_{N - 1}^{k}$ .
Свойства размещений:
- $A_{N}^{N} = P_{N} = N!$ ;
- $A_{N}^{N - 1} = A_{N}^{N} = P_{N} = N!$ .
Бином Ньютона – это формула, по которой можно раскрыть скобки ${(a + b)}^{n}$ и получить готовый многочлен:
${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + \dots + b^{n} =$
$= \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k},$
где $C_{n}^{k}$ – биномиальные коэффициенты, $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .
Пример.
${(x + 1)}^{8} = x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 56 x^{5} + 70 x^{4} + 56 x^{3} + 28 x^{2} + 8 x + 1 .$
Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по схеме, которая называется «треугольник Паскаля»: каждый крайний элемент равен 1, а каждый внутренний элемент равен сумме двух своих верхних соседей.

Было полезно?