Монотонные и ограниченные последовательности

Последовательность $\left\{{𝑥}_{𝑛}\right\}$ называют строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей), если для любого $𝑛\in 𝑁$ справедливо неравенство ${𝑥}_{𝑛}<{𝑥}_{𝑛+1}$

$({𝑥}_{𝑛}>{𝑥}_{𝑛+1})$.

Последовательность (a_n) называется ограниченной сверху, если существует число М, такое, что ${𝑎}_{𝑛}\le 𝑀$ при любом n.

Последовательность (a_n) называется ограниченной снизу, если существует число m, такое, что

${𝑎}_{𝑛}\ge 𝑚$ при любом n.

Теорема. Любая монотонная возрастающая числовая последовательность $\left\{{𝑥}_{𝑛}\right\}$, если она ограничена сверху, имеет конечный предел, равный верхней границе.

Любая монотонная убывающая числовая последовательность $\left\{{𝑥}_{𝑛}\right\}$, если она ограничена снизу, имеет конечный предел, равный нижней границе.