Метод математической индукции

1. доказать, что утверждение справедливо для n = 1 (база индуктивного перехода);
2. считая, что утверждение справедливо для n = k, доказать его справедливость для n = k + 1 (индуктивный переход).

Пример.
Докажем, что для любого натурального n выполняется равенство

$1+3+5+\dots +\left(2n -1\right)=n^2.$

Доказательство.
1. Проверим справедливость равенства для n = 1: 1 = 1².
2. Пусть равенство справедливо для некоторого k, то есть

$1+3+5+\dots +\left(2k -1\right)=k^2.$
Используя это равенство, докажем справедливость утверждения для k + 1.

$1+3+5+\dots +\left(2k -1\right)+\left(2 (k+1\right)-1)=k^2+2k+1={\left(k+1\right)}^2.$
Таким образом равенство выполняется для k + 1, а, следовательно, оно выполняется для любого натурального n.