Использование свойств квадратичной функции для решения задач

При $𝑎>0$ ветви параболы направлены вверх, при $𝑎<0$ ветви параболы направлены вниз.

Формулы координат вершины параболы $\left({𝑥}_0;{𝑦}_0\right)$: ${𝑥}_0=-\frac{𝑏}{2𝑎}$;

${𝑦}_0=𝑦\left({𝑥}_0\right)=𝑎{𝑥}_0^2+𝑏{𝑥}_0+𝑐=𝑎{(-\frac{𝑏}{2𝑎})}^2+𝑏\left(-\frac{𝑏}{2𝑎}\right)+𝑐=\frac{{𝑏}^2}{4𝑎}-\frac{{𝑏}^2}{2𝑎}+𝑐=-\frac{{𝑏}^2}{4𝑎}+𝑐.$

Пример. Крестьянин Платон, давно мечтавший о собственном участке земли, получил задание от старшины: «Какой участок земли сможешь обежать за сутки, та твоя будет». Платон обежал участок периметром 40 км. Какой четырёхугольник должен был обежать Платон, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение. Необходимо найти прямоугольник наибольшей площади, периметр которого 40 км. Выразим стороны прямоугольника через x км, запишем площадь $𝑆=𝑥\left(20-𝑥\right)=20𝑥-{𝑥}^2$. Получили квадратичную функцию. Так как $𝑎=-1<0$, то ветви параболы направлены вниз. Найдём координаты вершины (${𝑦}_0$ – наибольшая площадь прямоугольного участка со стороной ${𝑥}_0$): ${𝑥}_0=-\frac{20}{-2}=10$, ${𝑦}_0=20\cdot 10-10^2=100$.

Таким образом, Платон должен обойти квадратный участок земли со стороной 10 км, его площадь будет равна 100 км².