Математика • 8 класс

Квадратные уравнения, содержащие знак модуля

Алгоритм решения	Пример
Уравнение вида $\|a x^{2} + b x + c\| = b$ , где $b > 0$
Избавиться от модуля, решив два уравнения: $a x^{2} + b x + c = b$ или $a x^{2} + b x + c = - b$ . Если в исходном уравнении $b < 0$ , то решений нет	$\|x^{2} + 3 x - 2\| = 2 .$ $x^{2} + 3 x - 2 = 2$ или $x^{2} + 3 x - 2 = - 2$
x₁ = 1 x₂ = –4	x₁ = 0 x₂ = –3
Уравнение вида $\|a x^{2} + b x + c\| = a x + b$ имеет смысл, если $a x + b \geq 0$ или $\|a x^{2} + b x + c\| = \|a x + b\|$
Два решения: 1) $a x^{2} + b x + c = a x + b;$ 2) $a x^{2} + b x + c = - (a x + b) .$	$\|2 x^{2} - 5 x + 3\| = 7 x + 35$ . $7 x + 35 \geq 0$ ; $x \geq - 5 .$ 1) $x^{2} - 5 x + 3 = 7 x + 35$ ; x₁ = 8 и x₂ = –2. 2) $2 x^{2} - 5 x + 3 = - 7 x - 35$ ; $x^{2} + x + 19 = 0;$ $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 19 < 0$ – решений нет
Уравнение вида $a x^{2} + b \|x\| + c = 0$
Применить свойство модуля $x^{2} = {\|x\|}^{2} .$ Воспользоваться методом замены переменной	$x^{2} + 3 \|x\| - 4 = 0;$ ${\|x\|}^{2} + 3 \|x\| - 4 = 0;$ $\|x\| = t$ $t^{2} + 3 t - 4 = 0;$ $t_{1} = 1$ и $t_{2} = - 4$ ;
$\|x\| = 1$ x₁ = 1, x₂ = –1	$\|x\| = - 4$ корней нет

Алгоритм решения

Пример

Уравнение вида $|a x^{2} + b x + c| = b$ , где $b > 0$

Избавиться от модуля, решив два уравнения: $a x^{2} + b x + c = b$ или $a x^{2} + b x + c = - b$ .

Если в исходном уравнении $b < 0$ , то решений нет

$|x^{2} + 3 x - 2| = 2 .$

$x^{2} + 3 x - 2 = 2$ или $x^{2} + 3 x - 2 = - 2$

x₁ = 1

x₂ = –4

x₁ = 0

x₂ = –3

Уравнение вида $|a x^{2} + b x + c| = a x + b$ имеет смысл, если $a x + b \geq 0$
или $|a x^{2} + b x + c| = |a x + b|$

Два решения:

1) $a x^{2} + b x + c = a x + b;$

2) $a x^{2} + b x + c = - (a x + b) .$

$|2 x^{2} - 5 x + 3| = 7 x + 35$ . $7 x + 35 \geq 0$ ; $x \geq - 5 .$
1) $x^{2} - 5 x + 3 = 7 x + 35$ ; x₁ = 8 и x₂ = –2.

2) $2 x^{2} - 5 x + 3 = - 7 x - 35$ ;

$x^{2} + x + 19 = 0;$ $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 19 < 0$ – решений нет

Уравнение вида $a x^{2} + b |x| + c = 0$

Применить свойство модуля $x^{2} = {|x|}^{2} .$

Воспользоваться методом замены переменной

$x^{2} + 3 |x| - 4 = 0;$ ${|x|}^{2} + 3 |x| - 4 = 0;$
$|x| = t$

$t^{2} + 3 t - 4 = 0;$ $t_{1} = 1$ и $t_{2} = - 4$ ;

$|x| = 1$

x₁ = 1, x₂ = –1

$|x| = - 4$

корней нет

Было полезно?