Обобщённая теорема Виета

• Многочленом с целыми коэффициентами называется вида

$P\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0, a_i\in ℤ.$

• Обобщённая теорема Виета. Если $x_1,x_2,\dots ,x_n$ – все корни многочлена
  

  $P\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$

  то сумма всевозможных произведений корней многочлена, взятых по $k$ штук с учётом их кратностей, равна ${(-1)}^k,$ умноженному на отношение коэффициента при переменной степени $n-k$ к старшему коэффициенту:
  

  $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\cdots +x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\hfill \\ x_1{x}_2+{x_{1}x}_3+\cdots +x_1{x}_n+x_2{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n},\hfill \\ \cdots \cdots \cdots ,\hfill \\ x_1{x}_2\cdot \cdots \cdot x_n={\left(-1\right)}^n\frac{a_0}{a_n}.\hfill \end{array}\right.$