Математика • 10 класс

Формулы сокращённого умножения для старших степеней. Бином Ньютона

Формула разности n-ных степеней двух слагаемых:
$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) .$
Эту формулу обычно разделяют на две формулы:
- для чётных показателей $2 m$ :
  - $a^{2 m} - b^{2 m} = (a - b) (a^{2 m - 1} + a^{2 m - 2} b + a^{2 m - 3} b^{2} + \dots + b^{2 m - 1})$ ;
  - $a^{2 m} - b^{2 m} = (a^{n} + b^{n}) (a^{n} - b^{n})$ ;
- для нечётных показателей $2 m + 1$ :
  - $a^{2 m + 1} - b^{2 m + 1} = (a - b) (a^{2 m} + a^{2 m - 1} b + a^{2 m - 2} b^{2} + \dots + b^{2 m})$ .
Формула суммы n-ных степеней двух слагаемых:
$a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + \dots - a b^{n - 2} + b^{n - 1}) .$
Формула суммы двух слагаемых в степени:
${(a + b)}^{n} = {(a + b)}^{n - 1} \cdot (a + b) .$
Свойства формул:
- ${(a - b)}^{2 n} = {(b - a)}^{2 n}$ ;
- ${(a - b)}^{2 n + 1}$ .

Было полезно?