Облако знаний. Расстояние от точки до плоскости в координатах. Математика. 11 класс

Расстояние от точки до плоскости в координатах

Рис. 1

Пусть координаты точки: $M (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , уравнение плоскости: $A x + B y + C z + D = 0$ . Тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле (Рис. 1):

$d = \frac{|A x_{1} + B y_{1} + C z_{1} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Пример. Найдите расстояние от точки $A (3; 9; 1)$ до плоскости $2 x - y + 3 z - 2 = 0$ .

Решение. Используем формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Получим:

$d = \frac{|2 \cdot 3 - 1 \cdot 9 + 3 \cdot 1 - 2|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7} .$

Ответ. $\frac{\sqrt{14}}{7}$ .
Если точка лежит на данной плоскости, то при подстановке координат точек в уравнение, данное уравнение обращается в тождество.
Пусть даны точки $A (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ и $B (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Тогда координаты точки $M (x; y; z)$ , которая делит отрезок AB в отношении $λ = \frac{A M}{B M}$ , выражаются формулами:

$x = \frac{a_{1} + λ b_{1}}{1 + λ}$ , $y = \frac{a_{2} + λ b_{2}}{1 + λ}$ , $z = \frac{a_{3} + λ b_{3}}{1 + λ}$ .

Было полезно?