Векторное произведение

• Векторным произведением векторов $\overrightarrow{𝑎}$ и $\overrightarrow{𝑏}$ называется вектор $\overrightarrow{𝑐}=\overrightarrow{𝑎}\times \overrightarrow{𝑏}$, который:

  • по модулю численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{𝑎}$ и $\overrightarrow{𝑏}$;

  • перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора $\overrightarrow{𝑎}$ и $\overrightarrow{𝑏}$;

  • направлен так, что базис $\left(\overrightarrow{𝑎}; \overrightarrow{𝑏};\overrightarrow{𝑐}\right)$ имеет правую ориентацию (кратчайший поворот от $\overrightarrow{𝑎}$ к $\overrightarrow{𝑏}$ осуществляется против часовой стрелки, при условии, если смотреть с конца вектора $\overrightarrow{𝑐}$).

• Длина вектора $\overrightarrow{𝑐}$ равна

$\left|\overrightarrow{𝑐}\right|=\left|\overrightarrow{𝑎}\right|\cdot \left|\overrightarrow{𝑏}\right|\cdot \sin \mathrm{\theta }$,

где $\mathrm{\theta }$ – угол между векторами $\overrightarrow{𝑎}$ и $\overrightarrow{𝑏}$.

• Смешанное произведение трёх векторов $\overrightarrow{𝑎}$, $\overrightarrow{𝑏}$ и $\overrightarrow{𝑐}$ – это произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения на третий, то есть произведение вида:

$\left(\overrightarrow{𝑎}\times \overrightarrow{𝑏}\right)\cdot \overrightarrow{𝑐}$.

• Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения трёх векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.