Математика • 10 класс

Скалярное произведение векторов

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол), отложенными от одной точки.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos (\hat{\vec{a} \vec{b}}) .$
Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b} и \vec{c}$ и любого числа $k$ справедливы равенства:
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ — переместительный закон;
- $(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b})$ — сочетательный закон;
- $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ — распределительный закон.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Скалярный квадрат вектора (то есть скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.
Скалярное произведение векторов $\vec{a} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и $\vec{b} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ выражается формулой
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} .$

Было полезно?