Нормальное распределение случайной величины

• Нормальное распределение или закон распределения Гаусса – это распределение вероятностей, плотность которого имеет вид:$𝑓\left(𝑥\right)=\frac{1}{\mathrm{\sigma }\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{𝑒}^{\frac{-{\left(𝑥-𝑀\left(𝑥\right)\right)}^2}{2{\mathrm{\sigma }}^2}},$

  где $\mathrm{\sigma }$ – среднее квадратическое отклонение, $𝑀\left(𝑥\right)$ – математическое ожидание.

• Вероятность того, что случайная величина примет значение $𝑥\in \left(\mathrm{\alpha }; \mathrm{\beta }\right)$ рассчитывается по формуле:

  $𝑃\left(\mathrm{\alpha }<𝑋<\mathrm{\beta }\right)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{\mathrm{\beta }-𝑀\left(𝑥\right)}{\mathrm{\sigma }}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{\mathrm{\alpha }-𝑀\left(𝑥\right)}{\mathrm{\sigma }}\right),$

  где $\mathrm{\Phi }\left(𝑥\right)$ – функция Лапласа.

• Функция Лапласа рассчитывается по формуле:

$\mathrm{\Phi }\left(𝑥\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{\int }_0^{𝑥}{𝑒}^{-\frac{{𝑥}^2}{2}}𝑑𝑥$.