Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона

• Бином Ньютона – это формула, по которой можно раскрыть скобки ${\left(𝑎+𝑏\right)}^{𝑛}$ и получить готовый многочлен:

${\left(𝑎+𝑏\right)}^{𝑛}={𝐶}_{𝑛}^0{𝑎}^{𝑛}{𝑏}^0+{𝐶}_{𝑛}^1{𝑎}^{𝑛-1}{𝑏}^1+{𝐶}_{𝑛}^2{𝑎}^{𝑛-2}{𝑏}^2+\dots +{𝐶}_{𝑛}^{𝑘}{𝑎}^{𝑛-𝑘}{𝑏}^{𝑘}+\dots +{𝑏}^{𝑛}= {\sum }_{𝑘=0}^{𝑛}{𝐶}_{𝑛}^{𝑘}{𝑎}^{𝑛-𝑘}{𝑏}^{𝑘}$,

где ${𝐶}_{𝑛}^{𝑘}$ – биномиальные коэффициенты,

${𝐶}_{𝑛}^{𝑘}=\frac{𝑛!}{𝑘!\left(𝑛-𝑘\right)!}$.

• Пример: ${\left(𝑥+1\right)}^8={𝑥}^8+8{𝑥}^7+28{𝑥}^6+56{𝑥}^5+70{𝑥}^4+56{𝑥}^3+28{𝑥}^2+8𝑥+1$.

• Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по схеме, которая называется «треугольник Паскаля»: каждый крайний элемент равен 1, а каждый внутренний элемент равен сумме двух своих верхних соседей.