Формулы сокращённого умножения для старших степеней. Бином Ньютона

• Формула разности n-ных степеней двух слагаемых:

${𝑎}^{𝑛}-{𝑏}^{𝑛}=\left(𝑎-𝑏\right)\left({𝑎}^{𝑛-1}+{𝑎}^{𝑛-2}𝑏+{𝑎}^{𝑛-3}{𝑏}^2+\dots +𝑎{𝑏}^{𝑛-2}+{𝑏}^{𝑛-1}\right)$.

• Эту формулу обычно разделяют на две формулы:

  • для чётных показателей $2𝑚$:

  • ${𝑎}^{2𝑚}-{𝑏}^{2𝑚}=\left(𝑎-𝑏\right)\left({𝑎}^{2𝑚-1}+{𝑎}^{2𝑚-2}𝑏+{𝑎}^{2𝑚-3}{𝑏}^2+\dots +{𝑏}^{2𝑚-1}\right)$;

  • ${𝑎}^{2𝑚}-{𝑏}^{2𝑚}=\left({𝑎}^{𝑛}+{𝑏}^{𝑛}\right)\left({𝑎}^{𝑛}-{𝑏}^{𝑛}\right)$;

  • для нечётных показателей $2𝑚+1$:

${𝑎}^{2𝑚+1}-{𝑏}^{2𝑚+1}=\left(𝑎-𝑏\right)\left({𝑎}^{2𝑚}+{𝑎}^{2𝑚-1}𝑏+{𝑎}^{2𝑚-2}{𝑏}^2+\dots +{𝑏}^{2𝑚}\right)$.

• Формула суммы n-ных степеней двух слагаемых:

${𝑎}^{𝑛}+{𝑏}^{𝑛}=\left(𝑎+𝑏\right)\left({𝑎}^{𝑛-1}-{𝑎}^{𝑛-2}𝑏+\dots -𝑎{𝑏}^{𝑛-2}+{𝑏}^{𝑛-1}\right)$.

• Формула суммы двух слагаемых в степени n:

${\left(𝑎+𝑏\right)}^{𝑛}={\left(𝑎+𝑏\right)}^{𝑛-1}\cdot (𝑎+𝑏)$.

• Свойства формул:

  • ${\left(𝑎-𝑏\right)}^{2𝑛}={\left(𝑏-𝑎\right)}^{2𝑛}$;

  • ${\left(𝑎-𝑏\right)}^{2𝑛+1}=-{\left(𝑏-𝑎\right)}^{2𝑛+1}$.