Облако знаний. Решение линейных уравнений в целых числах. Математика. 11 класс

Решение линейных уравнений в целых числах

Если $𝑃 (𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛})$ – это многочлен с целыми коэффициентами, то уравнение вида $𝑃 (𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}) = 0$ – это диофантовое уравнение (уравнение в целых числах). Для решения диофантовых уравнений пользуются:
- теорией делимости;
- выражением одной переменной через вторую и выделению целой части дроби;
- полным перебором вариантов возможных значений;
- разложением на множители;
- приёмом, базирующемся на выделении полного квадрата.
Пример. Решите уравнение $𝑎^{2} - 𝑏^{2} = 91$ . Разложим левую часть на множители: $(𝑎 - 𝑏) (𝑎 + 𝑏) = 91$ . Делители числа 91 – это 1, 7, 13, 91, значит, число 91 можно получить двумя способами: $91 = 1 \cdot 91$ и $91 = 7 \cdot 13 .$ Благодаря этому, получим две системы уравнений:
$\{\begin{matrix} (𝑎 - 𝑏) = 1; \\ (𝑎 + 𝑏) = 91 . \end{matrix} ⟹ \{\begin{matrix} 𝑎 = 46; \\ 𝑏 = 45 . \end{matrix}$ и $\{\begin{matrix} (𝑎 - 𝑏) = 7; \\ (𝑎 + 𝑏) = 13 . \end{matrix} ⟹ \{\begin{matrix} 𝑎 = 3; \\ 𝑏 = 10 . \end{matrix}$
Ответ: $(46; 45) и (3; 10)$ .

Было полезно?