Уравнения с разделяющимися переменными

• Дифференциальное уравнение первого порядка$𝑦\prime =𝑓(𝑥, 𝑦)$ называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию $𝑓(𝑥, 𝑦)$ можно представить в виде произведения двух функций $𝑓\left(𝑥, 𝑦\right)=𝑓 \left(𝑥\right)\cdot 𝑔\left(𝑦\right)$, по отдельности зависящих только от независимой переменной x и только от функции y.

• Алгоритм решения с разделяющимися переменными.

  • Записать производную ${𝑦}^{\prime }=\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}$.

  • Преобразовать уравнение:

$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=𝑓 \left(𝑥\right)\cdot 𝑔\left(𝑦\right)$,

$\frac{𝑑𝑦}{𝑔\left(𝑦\right)}=𝑓 \left(𝑥\right)𝑑𝑥$.

• Проинтегрировать левую и правую части уравнения:

$\int \frac{𝑑𝑦}{𝑔\left(𝑦\right)}=\int 𝑓 \left(𝑥\right)𝑑𝑥+𝐶$.

• Результат интегрирования $𝐺\left(𝑦\right)=𝐹\left(𝑥\right)+𝐶$ – общее решение данного уравнения.