Вычисление площадей и объёмов с помощью интеграла

• Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ и $𝑦=𝑔 \left(𝑥\right)$, таких, что $𝑓\left(𝑥\right)\ge 𝑔 \left(𝑥\right)$ для любого x из $\left[𝑎;𝑏\right]$, где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций, вычисляется по формуле:

$𝑆=\underset{𝑎}{\overset{𝑏}{\int }}\left(𝑓\left(𝑥\right)-𝑔\left(𝑥\right)\right)𝑑𝑥$.

• Основная формула для вычисления объёмов тел:

$𝑉=\underset{𝑎}{\overset{𝑏}{\int }}𝑆\left(𝑥\right)𝑑𝑥$,

где $𝑆\left(𝑥\right)$ – площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку $𝑥\in \left[𝑎;𝑏\right]$ и перпендикулярна к оси $𝑂𝑥$.

• Если тело получено в результате вращения вокруг оси $𝑂𝑥$ криволинейной трапеции, которая ограничена графиком непрерывной функции $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ на отрезке $\left[𝑎;𝑏\right]$ и прямыми $𝑥=𝑎$ и $𝑥=𝑏$, то

$𝑉=\mathrm{\pi }\underset{𝑎}{\overset{𝑏}{\int }}{𝑓}^2\left(𝑥\right)𝑑𝑥$.