Вычисление объёмов с помощью интеграла

Если тело получено в результате вращения вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции (рис. 2), которая ограничена графиком непрерывной функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a;b\right]$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, то

$V=π\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right) \mathrm{d}x.$

Пример. Найдите объём тела вращения вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной линиями $y=2\sqrt{x}, y=1, x=0$ (рис. 3).
Решение. Найдём пределы интегрирования из условия. Получим: $a=0, b=\frac{1}{4}.$
Для нахождения объёма воспользуемся формулой $V=π\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right) \mathrm{d}x.$ Тогда:

$V=π\underset{0}{\overset{\frac{1}{4}}{\int }}(\left(1^2-{\left(2\sqrt{x}\right)}^2\right)dx=π\underset{0}{\overset{\frac{1}{4}}{\int }}(1-4x)dx=\text{π}\left(x-2x^2\right)\left|\begin{array}{c}\frac{1}{4}\\ 0\end{array}=\frac{\text{π}}{8}.\right.$