Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

• Определённый интеграл от функции $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ по отрезку $\left[𝑎;𝑏\right]$ – это предел интегральной суммы для функции $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ на отрезке $\left[𝑎;𝑏\right]$, не зависящий от способа разбиения этого отрезка: $\underset{𝑛\to \infty }{\lim } {𝑆}_{𝑛}$.

• Обозначают: ${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)𝑑𝑥$ (читают: интеграл от a до b эф от икс дэ икс).

• Числа a и b называют пределами интегрирования (верхним и нижним).
• Формула Ньютона – Лейбница:

${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)𝑑𝑥=𝐹\left(𝑥\right)\left|\begin{array}{c}𝑏\\ 𝑎\end{array}\right.=𝐹\left(𝑏\right)-𝐹\left(𝑎\right)$,

где $𝐹\left(𝑥\right)$ – первообразная функции $𝑓\left(𝑥\right)$ на отрезке $\left[𝑎;𝑏\right]$.

• Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что определённый интеграл равен площади S криволинейной трапеции:

$𝑆={\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)𝑑𝑥$,

образованной линиями: сверху ограниченной кривой $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$, и прямыми $𝑦=0$; $𝑥=𝑎$; $𝑥=𝑏$.