Облако знаний. Определённый интеграл. Формула Ньютона

Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

Определённый интеграл от функции $y = f (x)$ по отрезку $[a; b]$ – это предел интегральной суммы $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ для функции $y = f (x)$ , непрерывной на отрезке $[a; b]$ , при разбиении этого отрезка на n равных частей.
Обозначают так: $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (читают: интеграл от a до b эф от икс дэ икс).
Числа a и b называют пределами интегрирования (нижним и верхним).
Формула Ньютона – Лейбница:
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |\begin{matrix} b \\ a \end{matrix} = F (b) - F (a),$
где $F (x)$ – первообразная функции $f (x)$ , непрерывной на отрезке $[a; b]$ .
Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что определённый интеграл равен площади S криволинейной трапеции:
$S = \int_{a}^{b} f (x) d x,$
образованной кривой $y = f (x)$ и прямыми $y = 0$ ; $x = a$ ; $x = b$ .
Пример. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью Ox, прямыми $x = 1, x = 8$ и графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$ .
Решение. Фигура, площадь которой необходимо вычислить, изображена на рис. 1.
Имеем:
$S = \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x = \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} |\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix} = \frac{3}{4} \cdot (8^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{4} \cdot (16 - 1) =$

$= \frac{45}{4} = 11 \frac{1}{4} (к в . е д .) .$
Ответ. $S = 11 \frac{1}{4} к в . е д$ .

Было полезно?