Математика • 11 класс

Замена переменной при интегрировании

При вычислении неопределённых интегралов пользуются методом подстановки или замены переменной. Пусть функция φ (x) имеет непрерывную производную, а функция f (u) – непрерывная функция, тогда
$\int f (φ (x)) φ^{'} (x) d x = \int f (u) d u + C,$
где $C = c o n s t$ .
Пояснение формулы. Если подынтегральное выражение интеграла удалось представить в виде $F (x) d x = f (φ (x)) φ^{'} (x) d x$ , то можно в этом интеграле произвести замену $u = φ (x)$ , $d u = φ^{'} (x) d x$ , проинтегрировать полученное выражение $f (u) d u$ по переменной $u$ , а затем заменить $u$ на $φ (x)$ .
Пример.
$\int \sqrt{1 + x^{2}} x d x = \frac{1}{2} \int \sqrt{1 + x^{2}} \cdot 2 x d x = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u =$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C,$
где $C = c o n s t$ .
Подстановка $u = 1 + x^{2}$ , откуда $d u = 2 x d x$ .

Было полезно?