Замена переменной при интегрировании

• При вычислении неопределённых интегралов пользуются методом подстановки или замены переменной. Пусть функция $\mathrm{\phi }\left(𝑥\right)$ имеет непрерывную производную, а функция $𝑓\left(𝑢\right)$ – непрерывная функция, тогда

$\int 𝑓 \left(\mathrm{\phi }\left(𝑥\right)\right) {\mathrm{\phi }}^{\prime }\left(𝑥\right) 𝑑𝑥=\int 𝑓\left(𝑢\right) 𝑑𝑢+𝐶,$

где $𝐶=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.

• Пояснение формулы. Если подынтегральное выражение интеграла удалось представить в виде $𝐹\left(𝑥\right)𝑑𝑥=𝑓 \left(\mathrm{\phi }\left(𝑥\right)\right) {\mathrm{\phi }}^{\prime }\left(𝑥\right) 𝑑𝑥$, то можно в этом интеграле произвести замену $𝑢=\mathrm{\phi }\left(𝑥\right)$, $𝑑𝑢={\mathrm{\phi }}^{\prime }\left(𝑥\right) 𝑑𝑥$, проинтегрировать полученное выражение $𝑓\left(𝑢\right) 𝑑𝑢$ по переменной $𝑢$, а затем заменить $𝑢$ на $\mathrm{\phi }\left(𝑥\right)$.

• Пример. $\int \sqrt{1+{𝑥}^2} 𝑥 𝑑𝑥=\frac{1}{2}\int \sqrt{1+{𝑥}^2} \cdot 2𝑥 𝑑𝑥=\frac{1}{2}\int \sqrt{𝑢} 𝑑𝑢=\frac{1}{2} \cdot \frac{{𝑢}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+𝐶= \frac{{\left(1+{𝑥}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}+𝐶,$ где $𝐶=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.

Подстановка $𝑢=1+{𝑥}^2$, откуда $𝑑𝑢=2𝑥 𝑑𝑥$.