Использование производной для определения промежутков возрастания и убывания функции

• Пусть функция $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$  непрерывна на промежутке X и имеет производную ${\mathrm{𝑓}}^{\prime }\left(\mathrm{𝑥}\right)$ в каждой точке промежутка X. Тогда:

  • Если ${\mathrm{𝑓}}^{\prime }\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }>0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$ возрастает на промежутке X.

  • Если ${\mathrm{𝑓}}^{\prime }\left(\mathrm{𝑥}\right)<0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$ убывает на промежутке X.

  • Если ${\mathrm{𝑓}}^{\prime }\left(\mathrm{𝑥}\right)=0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$ есть постоянная (константа) на промежутке X.

Пример:

Исследовать на монотонность функцию $\mathrm{𝑦}=2{\mathrm{𝑥}}^3+3{\mathrm{𝑥}}^2\mathrm{ }-1$.

Найдем производную: ${\mathrm{𝑓}}^{\prime }\left(\mathrm{𝑥}\right)=6{\mathrm{𝑥}}^2+6\mathrm{𝑥}=6\mathrm{𝑥}\mathrm{ }(\mathrm{𝑥}+1)$.

Укажем знаки производной по промежуткам области определения.

Заданная функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [0;+\mathrm{\infty })$, убывает на $\left[-1;0\right]$.