Использование производной для определения промежутков возрастания и убывания функции

Пусть функция $y=f \left(x\right)$ непрерывна на промежутке X и имеет производную $f^{\prime }\left(x\right)$ в каждой точке промежутка X. Тогда:

• Если $f^{\prime }\left(x\right) >0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $y=f \left(x\right)$ возрастает на промежутке X.

• Если $f^{\prime }\left(x\right)<0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $y=f \left(x\right)$ убывает на промежутке X.

• Если $f^{\prime }\left(x\right)=0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $y=f \left(x\right)$ есть постоянная (константа) на промежутке X.

Пример. Исследуйте на монотонность функцию $y=2x^3+3x^2 -1$.

Найдём производную: $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+6x=6x\left(x+1\right)$. Укажем знаки производной по промежуткам области определения. Заданная функция возрастает на (–∞; –1] ∪ [0; +∞), убывает на $\left[-1;0\right]$.