Предел функции в точке

Если при при приближении аргумента x к числу a значения функции $f \left(x\right)$

• бесконечно возрастают, то $\underset{x\to a}{\lim } f \left(x\right)=+\infty$;

• бесконечно убывают, то $\underset{x\to a}{\lim } f \left(x\right)=-\infty$.

Если $\underset{x\to a}{\lim } f \left(x\right)=b$, а $\underset{x\to a}{\lim } g \left(x\right)=c$, то:

• предел суммы равен сумме пределов

  $\underset{x\to a}{\lim } (f\left(x\right)+g\left(x\right))=\underset{x\to a}{\lim } f \left(x\right)+\underset{x\to a}{\lim } g \left(x\right)=b+c$;

• предел произведения равен произведению пределов

  $\underset{x\to a}{\lim } (f\left(x\right)\cdot g\left(x\right))=\underset{x\to a}{\lim } f \left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{\lim } g \left(x\right)=bc$;

• предел частного равен частному пределов (причём знаменатель не равен нулю)

  $\underset{x\to a}{\lim } \left(\frac{f \left(x\right)}{g \left(x\right)}\right)=\frac{\underset{x\to a}{\lim } f \left(x\right)}{\underset{x\to a}{\lim } g \left(x\right)}=\frac{b}{c}(b\ne 0)$;

• постоянный множитель можно вынести за знак предела

  $\underset{x\to a}{\lim } \left(kf\left(x\right)\right)=k\underset{x\to a}{\lim } f \left(x\right)=kb$.

Первый замечательный предел: $\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} x }{x}=1$.

Второй замечательный предел: $\underset{x\to 0}{\lim } {(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$.