Вычисление пределов последовательностей

• Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:

$\underset{𝑛\to \infty }{\lim } 𝐶=𝐶$.

• Теорема. Если $\underset{𝑛\to \infty }{\lim } {𝑥}_{𝑛}=𝑏$, $\underset{𝑛\to \infty }{\lim } {𝑦}_{𝑛}=𝑐$, то

  • Предел суммы равен сумме пределов: $\underset{𝑛\to \infty }{\lim } ({𝑥}_{𝑛}+{𝑦}_{𝑛})=𝑏+𝑐$.

  • Предел произведения равен произведению пределов: $\underset{𝑛\to \infty }{\lim } \left({𝑥}_{𝑛}{𝑦}_{𝑛}\right)=𝑏𝑐$.

  • Предел частного равен частному от пределов: $\underset{𝑛\to \infty }{\lim } \left(\frac{{𝑥}_{𝑛}}{{𝑦}_{𝑛}}\right)=\frac{𝑏}{𝑐}$, при $𝑐\ne 0$ и ${𝑦}_{𝑛}\ne 0$ для любого n.

  • Постоянный множитель можно вынести за знак предела: $\underset{𝑛\to \infty }{\lim } \left({𝑘𝑥}_{𝑛}\right)=𝑘𝑏$.

• Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо отношение:

$\underset{𝑛\to \infty }{\lim } \left(\frac{𝑘}{{𝑛}^{𝑚}}\right)=0$.