Математика • 10 класс

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если $| q | < 1$ , то прогрессию $b, b q, {b q}^{2}, \dots, b q^{n - 1}, \dots (a \neq 0, q \neq 0)$ называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Пример. $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} + \dots$
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как число, к которому стремится сумма первых членов прогрессии при неограниченном увеличении количества этих членов.
$S = \frac{b_{1}}{1 - q}, q \neq 1 .$

Пример. Запишите периодическую дробь 0,(8) в виде обыкновенной дроби.
Решение. Очевидно, что 0,(8) $= 0,8 + 0,08 + 0,008 + \dots$ . Слагаемые в правой части уравнения представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Её первый член равен $0,8$ , а знаменатель — $0,1$ . Тогда сумма будет равна:
$S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0,8}{1 - 0,1} = \frac{8}{9} .$
Получим, что бесконечная периодическая десятичная дробь 0,(8) равна обыкновенной дроби $\frac{8}{9} .$
Ответ. $\frac{8}{9} .$

Было полезно?