Облако знаний. Решение геометрических задач с помощью векторов. Математика. 9 класс

Решение геометрических задач с помощью векторов

Некоторые задачи, решаемые векторно:
- нахождение координат точек;
- вычисление длин отрезков;
- вычисление углов;
- вычисление площадей;
- нахождение точек пересечения;
- решение задач на параллельность и перпендикулярность;
- нахождение расстояний от точки до прямой или плоскости.
Примеры.
- Докажите теорему о средней линии треугольника (рис. 1).
  Решение. По правилу треугольников получаем:
  $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C},$
  $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{B C}) = \frac{1}{2} \vec{A C} .$
  Следовательно, $|\vec{M N}| = \frac{1}{2} |\vec{A C}|$ , значит $M N = \frac{1}{2} A C$ .
- В параллелограмме ABCD известны длины сторон AB = 2 и BC = 4, а также угол между сторонами AB и BC, равный 60°. Найдите длину диагонали AC (рис. 2).
  Решение. $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} .$
  Используем формулу для модуля суммы двух векторов:
  ${|\vec{A B} + \vec{B C}|}^{2} = {|\vec{A B}|}^{2} + {|\vec{B C}|}^{2} + 2 |\vec{A B}| |\vec{B C}| \cos (\hat{\begin{matrix} \vec{A B}, & \vec{B C} \end{matrix}}); \cos 60 ° = \frac{1}{2};$
  ${|\vec{A B} + \vec{B C}|}^{2} = 2^{2} + 4^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}; \vec{A B} + \vec{B C} = 2 \sqrt{7} .$

Было полезно?