Дробно-рациональные неравенства, содержащие многочлены в степенях

Дробно-рациональные неравенства могут содержать степени многочленов. При их решении нужно использовать модифицированный метод интервалов. Если в неравенстве f (x) ＞ 0 функция f (x) является произведением или частным многочленов в натуральных степенях, то при переходе через корень многочлена знак функции изменяется на противоположный, если степень нечётная (в т. ч. равна единице), и не изменяется, если степень чётная.

Пример. Решите неравенство $\frac{{(x-4)}^3}{{(x+1)}^2}< 0.$

Решение. Корнями многочленов являются числа –1 и 4. Они разделяют числовую ось на три отрезка: (–∞; –1), (–1; 4) и (4; +∞). При переходе через x = –1 левая часть неравенства не меняет знак, так как степень многочлена, для которого x = –1 является корнем, чётная (равна 2). При переходе через x = 4 левая часть неравенства меняет знак на противоположный (степень соответствующего многочлена равна 3). Таким образом, решением неравенства является (–∞; –1) ∪ (–1; 4). x = –1 не является решением («выколото»), так как (x + 1)² находится в знаменателе алгебраической дроби.