Неравенства, сводящиеся к рациональным

• Рациональное неравенство с одной переменной – это неравенство видаh (x) ＞ g (x), где h (x) и g (x) – рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень.
• Если в рациональном неравенстве левая и правая части – целые выражения, то такое неравенство называется целым неравенством.
• Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.

Пример. Решить неравенство $\frac{5}{𝑥+1}-\frac{2}{𝑥}>\frac{1}{𝑥+1}$. Решим неравенство помощью метода интервалов.

$\frac{5}{𝑥+1}-\frac{2}{𝑥}>\frac{1}{𝑥+1}$; $\frac{5𝑥-2\left(𝑥+1\right)-𝑥}{𝑥\left(𝑥+1\right)}>0$; $\frac{2𝑥-2}{𝑥\left(𝑥+1\right)}>0$; $\left\{\begin{array}{c}2𝑥-2=0,\\ 𝑥(𝑥+1)\ne 0\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{c}𝑥=1,\\ 𝑥\ne -1 или 𝑥\ne 0.\end{array}\right.$

Затем выбираем промежутки и записываем ответ.

Ответ: (–1; 0) ∪ (1; +∞).