Условная вероятность. Правило умножения вероятностей

• Вероятность события $𝐴$ при условии, что произошло событие $𝐵$ называют условной вероятностью. Обозначение: ${𝑃}_{𝐵}\left(𝐴\right)$ или$𝑃 \left(𝐴 \left| 𝐵\right.\right)$.

• Если события $𝐴$ и $𝐵$ независимые, то $𝑃\left(𝐴\right)=𝑃 \left(𝐴 \left| 𝐵\right.\right)$.

• Вероятность произведения двух событий находится по формуле:

$𝑃 \left(𝐴𝐵\right)=𝑃 \left(𝐴\right)\cdot 𝑃 \left(𝐵 | 𝐴\right)=𝑃 \left(𝐵\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴 | 𝐵\right)$.

• Если события $𝐴$ и $𝐵$ независимые, то $𝑃 \left(𝐴𝐵\right)=𝑃 \left(𝐴\right)\cdot 𝑃 \left(𝐵\right).$

• Пример. В коробке находится 6 красных шара и 10 белых. Саша случайным образом берёт сначала один шар, затем второй. Какова вероятность, что оба шара окажутся красными?

  Решение. Обозначим события:

  $𝐴$ = {первый шар красный}, $𝐵$ = {второй шар красный}.

  Вероятность события $𝐴$ равна $𝑃\left(𝐴\right)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.

  Вероятность события $𝐵$ при условии, что произошло событие $𝐴$ равна $𝑃\left(𝐵 | 𝐴\right)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.$

  Вероятность, что оба шара будут красными:

  $𝑃 \left(𝐴𝐵\right)=𝑃 \left(𝐴\right)\cdot 𝑃 \left(𝐵 | 𝐴\right)=\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}.$

  Ответ: 0,125.