Уравнения с двумя переменными. Равносильность уравнений

• Рациональным уравнением с двумя переменными x, y называют уравнение вида p (x, y) = 0, где p (x, y) – рациональное выражение.
• Или рациональное уравнение с двумя переменными x, y – уравнение вида h (x, y) = q (x, y), где h (x, y), q (x, y) – рациональные выражения с двумя переменными x и y.

Примеры: ${\mathrm{𝑥}}^2\mathrm{ }+\mathrm{ }{\mathrm{𝑦}}^2=74;$ $3\mathrm{𝑥}\mathrm{𝑦}+\mathrm{ }{\mathrm{𝑥}}^4=0;$ $\frac{\mathrm{𝑥}}{\mathrm{𝑥}-\mathrm{𝑦}}\mathrm{ }-\mathrm{ }\frac{{\mathrm{𝑦}}^2}{\mathrm{𝑥}+\mathrm{𝑦}}=2\mathrm{𝑦}+1.$

• Решением уравнения p (x, y) = 0 называют всякую пару чисел (x; y) , которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает равенство с переменными p (x, y) = 0 в верное числовое равенство.

Пример:

${\mathrm{𝑥}}^2\mathrm{ }+\mathrm{ }{\mathrm{𝑦}}^2=74$

(5; 7) – являются решением уравнения. Подставляем значения, проверяем и получаем верное равенство:

$5^2\mathrm{ }+\mathrm{ }{7}^2=74.$

• Два уравнения p (x, y) = 0 и q (x, y) = 0 называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (в частности, если оба уравнения не имеют решений).