Математика • 8 класс

Квадратное уравнение с параметром

Квадратное уравнение с параметром или квадратное уравнение с буквенными коэффициентами – это квадратные уравнения, у которых в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения.
Решить квадратное уравнение с параметром – значит найти его корни при каждом значении параметра.
Пример. Решите уравнение $p x^{2} + (1 - p) x - 1 = 0$ .
Если $p = 0$ , то уравнение имеет вид $0 \cdot x^{2} + (1 - 0) x - 1 = 0$ , т. е. $x - 1 = 0$ , откуда $x = 1$ .
Если $p \neq 0$ , то можно применить формулу корней квадратного уравнения.
Найдём дискриминант:
$D = {(1 - p)}^{2} - 4 \cdot p \cdot (- 1) = 1 - 2 p + p^{2} + 4 p = {(p + 1)}^{2} .$
Далее,
$x_{1} = \frac{- (1 - p) + \sqrt{{(p + 1)}^{2}}}{2 p} = \frac{p - 1 + (p + 1)}{2 p} = \frac{2 p}{2 p} = 1;$
$x_{2} = \frac{- (1 - p) - \sqrt{{(p + 1)}^{2}}}{2 p} = \frac{p - 1 - (p + 1)}{2 p} = \frac{- 2}{2 p} = - \frac{1}{p} .$
Ответ. Если $p = 0$ , то $x = 1$ ; если $p \neq 0,$ то $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - \frac{1}{p} .$

Было полезно?