Облако знаний. Целые уравнения и их корни. Математика. 9 класс

Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.
Любое целое уравнение можно преобразовать в равносильное ему уравнение вида $P (x) = 0$ , где $P (x)$ – многочлен стандартного вида.
Наибольший показатель степени переменной входящей в уравнение называется степенью уравнения.
Уравнения n-ной степени могут иметь не более n корней.
Теорема о целых корнях уравнения. Если уравнение $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} = 0$ , в котором все коэффициенты – целые числа, а свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Теорема о рациональных корнях целого уравнения с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь $\frac{p}{q}$ является корнем уравнения $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} = 0$ , в котором все коэффициенты – целые числа и $a_{0} \neq 0$ , то число p является делителем свободного члена $a_{n}$ , а число q – делителем старшего коэффициента $a_{0}$ .
Теорема о корне многочлена. Если число a является корнем многочлена $P (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ , где $a_{0} \neq 0$ , то этот многочлен можно представить в виде произведения (x – a) P₁ (x), где P₁ (x) – многочлен $(n - 1)$ -й степени.
Некоторые приёмы решения целых уравнений:
- разложение многочлена на множители;
- метод введения новой переменной;
- метод неопределённых коэффициентов;
- графический метод.