Вычисление площадей с помощью интеграла

Площадь фигуры (рис. 1), ограниченной прямыми $x=a, x=b$ и графиками функций $y=f \left(x\right)$, $y=g \left(x\right)$, непрерывных на отрезке $\left[a;b\right]$ и таких, что для любого $x$ из отрезка $\left[a;b\right]$ выполняется неравенство $f \left(x\right)\ge g \left(x\right)$, вычисляется по формуле

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right) \mathrm{d}x.$

Пример. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x, y=5-x, x=1, x=2.$

Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рис. 2. Воспользуемся формулой для нахождения площади фигуры. Получим:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\left(5-x\right)-x\right) \mathrm{d}x=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(5-2x\right) \mathrm{d}x=(5x-x^2)\left|\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}=\right.$

$=\left(5\cdot 2-2^2\right)-\left(5\cdot 1-1^2\right)=2.$

Ответ. $S=2.$