Облако знаний. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Математика. 11 класс

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = f (x)$ на отрезке $[a; b]$ :
- найти производную $f^{'} (x);$
- найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка $[a; b];$
- вычислить значения функции $y = f (x)$ в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b;
- выбрать среди этих значений наименьшее (это и будет $y_{н а и м}$ ) и наибольшее (это и будет $y_{н а и б}$ ).
Пример. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{3} - 3 x^{2} - 45 x + 1$ на отрезке $[- 4; 6]$ .
Решение. Найдём производную, получим: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 45$ . Производная существует при всех $x$ , значит, критических точек у функции нет. Найдём стационарные точки: $y^{'} = 0;$ $3 x^{2} - 6 x - 45 = 0;$ $x^{2} - 2 x - 15 = 0; x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 5$ . Обе стационарные точки принадлежат отрезку $[- 4; 6] .$ Значит, составим таблицу значений функции $y = x^{3} - 3 x^{2} - 45 x + 1 .$
Ответ. $y_{н а и м} = - 174, y_{н а и б} = 82 .$

$x$	$- 4$	$- 3$	$5$	$6$
$y$	$69$	$82$	$- 174$	$- 161$