Тригонометрические уравнения, содержащие корни

• Тригонометрические уравнения, содержащие корни, сводятся к обычным тригонометрическим уравнениям.

• Важно помнить, что подкоренное выражение неотрицательно, поэтому при решении уравнений нужно отбирать корни, удовлетворяющие данному условию.
  Пример. Решите уравнение $\sqrt{5 \text{cos} x-\text{cos} 2x}+2 \text{sin} x=0.$
  Решение. Исходное уравнение равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}5 \text{cos} x-\text{cos} 2x=4{ \text{sin}}^{2}x,\\ \text{sin} x\le 0.\hfill \end{array}\right.$

• Решим совокупность уравнений:

$\left[\begin{array}{c}x=\frac{\text{π}}{3}+2\text{π}k, k\in \text{ℤ},\hfill \\ x=-\frac{\text{π}}{3}+2\text{π}n,n\in \text{ℤ}.\end{array}\right.$

• Применим ограничения, получим: $x=-\frac{\text{π}}{3}+2\text{π}n,n\in ℤ$.

Ответ. $-\frac{\text{π}}{3}+2\text{π}n,n\in ℤ$.