Математика • 10 класс

Простейшее уравнение с косинусом или синусом

Решение уравнения $\cos x = b$ , $|b| \leq 1$ , имеет вид:
$x = \pm \arccos b + 2 π k,$ k ∈ ℤ.
Частные случаи уравнения $\cos x = b$ (для $b = - 1; 0; 1$ ):
$\cos x = - 1; x = π + 2 π k,$ k ∈ ℤ;

$\cos x = 0; x = \frac{π}{2} + π k,$ k ∈ ℤ;

$\cos x = 1; x = 2 π k,$ k ∈ ℤ.

Пример 1. Решить уравнение $\cos 4 x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Решение. $4 x = \pm \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 π k; 4 x = \pm \frac{3 π}{4} + 2 π k; x = \pm \frac{3 π}{16} + \frac{π k}{2},$ k ∈ ℤ.
Решение уравнения sin x = b, |b| ≤ 1, имеет вид:
$x = {(- 1)}^{k} \arcsin b + π k,$ k ∈ ℤ.
Частные случаи уравнения sin x = b (для b = –1; 0; 1):
$\sin x = - 1; x = - \frac{π}{2} + 2 π k,$ k ∈ ℤ;

$\sin x = 0; x = π k,$ k ∈ ℤ;

$\sin x = 1; x = \frac{π}{2} + 2 π k,$ k ∈ ℤ;

Пример 2. Решить уравнение $\sin \frac{x}{2} = - \frac{1}{2}$ .

Решение. $\frac{x}{2} = {(- 1)}^{k} \pm arcsin (- \frac{1}{2}) + π k,$ k ∈ ℤ. Далее получим:

$\frac{x}{2} = {(- 1)}^{k} \cdot (- \frac{π}{6}) + π k, \frac{x}{2} = {(- 1)}^{k + 1} \cdot \frac{π}{6} + π k,$

$x = {(- 1)}^{k + 1} \cdot \frac{π}{3} + 2 π k,$ k ∈ ℤ.

Было полезно?