Облако знаний. Преобразование тригонометрических выражений. Математика. 10 класс

Преобразование тригонометрических выражений – это приведение выражений к более простому виду с помощью тригонометрических формул.
Некоторые принципы преобразования тригонометрических выражений:
- с помощью тригонометрических тождеств и формул приведения;
- с помощью формул понижения степени;
- с помощью универсальной тригонометрической подстановки – метод преобразования тригонометрических выражений через тангенс половинного аргумента.
Формулы универсальной тригонометрической подстановки: $sin α = \frac{2 t g \frac{α}{2}}{1 + {t g}^{2} \frac{α}{2}}, cos α = \frac{1 - {t g}^{2} \frac{α}{2}}{1 + {t g}^{2} \frac{α}{2}}, tg α = \frac{2 t g \frac{α}{2}}{1 - {t g}^{2} \frac{α}{2}} .$
Пример. Упростите выражение
$\frac{\sqrt{1 + sin α} - \sqrt{1 - sin α}}{4 sin \frac{α}{2}}, 0 ° < α < 90 °$ .
Решение. Воспользуемся тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла. Получим:
$\frac{\sqrt{{s i n}^{2} \frac{α}{2} + {c o s}^{2} \frac{α}{2} + 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}} - \sqrt{{s i n}^{2} \frac{α}{2} + {c o s}^{2} \frac{α}{2} - 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}}{4 sin \frac{α}{2}} .$
Выражения, стоящие под корнем, есть полные квадраты суммы и разности, тогда:
$\frac{|sin \frac{α}{2} + cos \frac{α}{2}| - |sin \frac{α}{2} + cos \frac{α}{2}|}{4 sin \frac{α}{2}} .$
Зная, что $0 ° < α < 90 °$ , раскроем модули и упростим выражение:
$\frac{sin \frac{α}{2} + cos \frac{α}{2} + sin \frac{α}{2} - cos \frac{α}{2}}{4 sin \frac{α}{2}} = \frac{2 sin \frac{α}{2}}{4 sin \frac{α}{2}} = \frac{1}{2} .$
Ответ. $0,5$ .