Решение логарифмических уравнений методом замены переменных

• найти ОДЗ уравнения;
• ввести замену переменной;
• решить новое уравнение;
• сделать обратную замену и найти корни исходного уравнения;
• записать корни, удовлетворяющие ОДЗ.

Пример. Решите уравнение ${\mathrm{l}\mathrm{g}}^2 x+lg x+1=\frac{7}{\text{lg}\frac{x}{10}}.$

Решение. Найдём ОДЗ: $x>0.$ Так как $lg \frac{x}{10}=\lg x-\lg 10=$ $\lg x-1$, то заданное уравнение примет вид:

${\mathrm{l}\mathrm{g}}^2 x+lg x+1=\frac{7}{\text{lg}x-1}.$

Введём замену $\lg x=t$, тогда $t^2+t+1=\frac{7}{t-1}$, при чём $t\ne 1$. Далее найдём корни нового уравнения: $t=2$. Сделаем обратную замену: $\lg x=2;x=100$.

Ответ. 100.