Облако знаний. Решение логарифмических уравнений методом последовательных упрощений. Математика. 10 класс

Решение логарифмических уравнений методом последовательных упрощений

Метод последовательных упрощений применяется для решения логарифмических уравнений, где неизвестная может быть в аргументе или основании. Включает в себя:
- применение свойств и определения логарифма;
- использование основного логарифмического тождества;
- потенцирование;
- приведение к одному основанию.
Алгоритм решения логарифмических уравнений методом последовательных упрощений:
- определить область допустимых значений (ОДЗ);
- преобразовать уравнение;
- решить полученное уравнение;
- проверить, что корни удовлетворяют ОДЗ.
Пример. Решите уравнение $\log_{2} (x + 4) +$ $\log_{2} (2 x + 3) = \log_{2} (1 - 2 x) .$
Решение. Определим ОДЗ: $\{\begin{matrix} x + 4 > 0, \\ 2 x + 3 > 0, \\ 1 - 2 x > 0; \end{matrix} x \in (- 1,5; 0,5) .$
Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма. Получим:
$\log_{2} (x + 4) (2 x + 3) = \log_{2} (1 - 2 x) .$
Затем потенцируем уравнение: $(x + 4) (2 x + 3) = (1 - 2 x) .$ Решим полученное уравнение. Получим корни $x_{1} = - 1 и x_{2} = - 5,5 .$ Второй корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ. $- 1$ .

Было полезно?