Облако знаний. Возвратные уравнения. Математика. 9 класс

Возвратные уравнения

Уравнение вида ax⁴+ bx³+ cx²± bx + a = 0 называется возвратным.
Алгоритм решения возвратного уравнения:
1. Чтобы его решить, надо вынести за скобку x², а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведётся к квадратному трёхчлену, исходное уравнение запишется:
  $a {(x + \frac{1}{x})}^{2} + b (x + \frac{1}{x}) + (c - 2 a) = 0$
  или $a {(x - \frac{1}{x})}^{2} + b (x - \frac{1}{x}) + (c + 2 a) = 0 .$
2. Введя замену $y = x \pm \frac{1}{x},$ получим квадратное уравнение ay² + by + (c ∓ 2a) = 0.
3. Находим решения нового уравнения и, делая обратную замену, находим корни исходного уравнения.
  Пример. Решите уравнение x⁴ + 5x³+ 6x²+ 5x + 1 = 0.
  1. Перед нами возвратное уравнение с коэффициентами: a = 1, b = 5, c = 6, значит исходное уравнение запишется: ${(x + \frac{1}{x})}^{2} + 5 (x + \frac{1}{x}) + 4 = 0 .$
  2. Введём замену $y = x + \frac{1}{x},$ получим новое уравнение: y² + 5y + 4 = 0.
  3. Решим его: $y_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 5 \pm 3}{2}$ → y₁ = –4 и y₂ = –1.
  4. $\binom{- 4 = x + \frac{1}{x}}{- 1 = x + \frac{1}{x}}$ → $\binom{x^{2} + 4 x + 1 = 0}{x^{2} + x + 1 = 0}$ → $\binom{x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = - 2 \pm \sqrt{3}}{x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2} р е ш е н и й н е т}$
    Ответ. $- 2 \pm \sqrt{3}$ .

Было полезно?