Случайный выбор точки из отрезка и дуги окружности. Задачи, решаемые с помощью геометрической вероятностью

• Если точку X случайным образом «бросить» на отрезок MN, то вероятность того, что она принадлежит отрезку CD, входящему в отрезок MN:
  

  $P \left(A\right)=\frac{CD}{MN}$.

• Задача о встрече. Это классическая вероятностная задача, где два человека договариваются встретиться в определённом интервале времени и ждут друг друга определённое число минут. Вероятность, что их встреча состоится, рассчитывается с помощью геометрической вероятности (случайного выбора на отрезке).
• Если точку X случайным образом «бросить» на дугу AB, то вероятность того, что она принадлежит некоторой дуге CD, входящей в дугу AB:

$P \left(A\right)=\frac{CD}{AB}=\frac{{\text{Φ}}_{CD}}{{\text{Φ}}_{AB}}.$

• Парадокс Бертрана — это проблема в теории вероятностей, связанная с неоднозначностью определения вероятности для геометрически заданных событий. Суть парадокса заключается в определении вероятности того, что случайно выбранная хорда окружности будет длиннее стороны вписанного правильного треугольника.
• Бертран предложил три метода решения, дающих разные результаты:

  • метод середины хорды $P=\frac{1}{4}$;

  • метод фиксированной точки $P=\frac{1}{3}$;

  • метод перпендикулярной хорды $P=\frac{1}{2}$.