Облако знаний. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с параметрами. Математика. 7 класс

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с параметрами

Если надо найти значения параметра, при которых система линейных уравнений имеет одно решение, не имеет решений или имеет их бесконечное множество, то используют теорему о количестве решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Если дана системы линейных уравнений: $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0, \end{matrix}$ где все коэффициенты отличны от нуля, тогда система:
1) имеет одно решение, если $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ (прямые пересекаются);
2) не имеет решений, если $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ (прямые параллельны);
3) имеет бесконечно много решений, если $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ (прямые совпадают).
Пример.
При каком значении параметра $b$ система уравнений
$\{\begin{matrix} b x - y + 3 = 0, \\ x - 5 y - 7 = 0, \end{matrix}$
имеет одно решение, $a$ при каком – не имеет решений?
Решение.
1) Если $\frac{b}{1} \neq \frac{- 1}{- 5}$ , то есть $b \neq \frac{1}{5}$ , система имеет одно решение.
2) Если $\frac{b}{1} = \frac{- 1}{- 5} \neq \frac{3}{- 7}$ , то есть $b = \frac{1}{5}$ , система не имеет решений.

Было полезно?