Облако знаний. Решение дробно-рациональных уравнений методом приведения к общему знаменателю. Математика. 8 класс

Решение дробно-рациональных уравнений методом приведения к общему знаменателю

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений методом приведения к общему знаменателю:
1. найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной для уравнения, записанного в исходном виде;
2. перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части уравнения был ноль;
3. привести дроби к общему знаменателю;
4. упростить получившееся выражение в числителе дроби (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые), получить уравнение вида $\frac{p (x)}{q (x)} = 0$ ;
5. дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, поэтому избавиться от знаменателя и приравнять числитель к нулю;
6. решить целое рациональное уравнение, определить принадлежат ли корни уравнения ОДЗ.
Пример. Решите уравнение $\frac{x + 4}{x - 4} - \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{x^{2} - 16}$ .
Определим ОДЗ: $x \neq 4$ ; $x \neq - 4$ .
Перенесём все слагаемые в левую часть $\frac{x + 4}{x - 4} - \frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x^{2} - 16} = 0$ .
Приведём дроби к общему знаменателю и упростим числитель.
$\frac{{(x + 4)}^{2} - x (x - 4) - 1}{x^{2} - 16} = \frac{x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} + 4 x - 1}{x^{2} - 16} = \frac{12 x + 15}{x^{2} - 16} .$
Решим уравнение $12 x + 15 = 0$ . Корень уравнения равен $x = - 1,25$ .
Полученный нами корень принадлежит ОДЗ.
Ответ. $- 1,25$ .

Было полезно?