Представление алгебраической дроби в виде суммы простейших дробей

• Для представления алгебраической дроби в виде суммы простейших дробей можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов, то есть записать дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:

$\frac{P}{Q}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\dots$

• Алгоритм метода неопределённых коэффициентов:

  • разложить знаменатель дроби на множители;
  • записать дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами;
  • привести сумму справа к общему знаменателю;
  • у дробей слева и справа приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной;

  • решив полученную систему линейных уравнений, найти коэффициенты $A$, $B$, …

• Пример. Представьте дробь $\frac{5x}{\left(x+1\right) \left(x-2\right)}$ в виде суммы дробей со знаменателями $x+1$ и $x-2$.
  Решение. Допустим, что $\frac{6x}{\left(x+1\right) \left(x-2\right)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}$. Сложим дроби в правой части равенства: $\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}=\frac{\left(a+b\right) x+\left(b-2a\right)}{\left(x+1\right) \left(x-2\right)}$. Получаем, что $\frac{6x}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{\left(a+b\right) x+\left(b-2a\right)}{\left(x+1\right) \left(x-2\right)}$. Это равенство будет тождеством, если $a+b=6$; $b-2a=0$. Решив систему уравнений $\left\{\begin{array}{c}a+b=6,\\ b-2a=0,\end{array}\right.$ найдём, что $a=2$; $b=4$. Следовательно, $\frac{6x}{\left(x+1\right) \left(x-2\right)}=\frac{2}{x+1}+\frac{4}{x-2}$.