Плотность распределения вероятностей. Свойства плотности распределения

• Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальная функция) $f\left(x\right)$ – это средняя вероятность, приходящая на бесконечно малый отрезок, другими словами, это первая производная от функции распределения $F\left(x\right)$:

$f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right).$

• Плотность распределения – неотрицательная функция: $f\left(x\right)\ge 0.$

• Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу $\left(a;b\right)$, равна:

$$P\left(a<X<b\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right) \text{d}x.$$

• Функция распределения $F\left(x\right)$ (интегральная функция) вычисляется по формуле:

$$F\left(x\right)=\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}f\left(x\right) \text{d}x.$$

• Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен:

$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f\left(x\right) \text{d}x=1.$$