Теорема Чебышёва

• Теорема Чебышева. Если ${𝑋}_1, {𝑋}_2, \dots , {𝑋}_{𝑛}, \dots$ – попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C), то, как бы мало ни было положительное число $\mathrm{\epsilon }$, вероятность неравенства:

  $\left|\frac{{𝑋}_1 + {𝑋}_2+ \dots + {𝑋}_{𝑛}}{𝑛}-\frac{{𝑀 (𝑋}_1) +𝑀 \left({𝑋}_2\right) + \dots +𝑀 ({𝑋}_{𝑛})}{𝑛}\right|<\mathrm{\epsilon }$

  будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

• Условие теоремы можно записать в виде:

$\underset{𝑛\to \infty }{\lim } 𝑃 \left(\left|\frac{{𝑋}_1 + {𝑋}_2+ \dots + {𝑋}_{𝑛}}{𝑛}-\frac{{𝑀 (𝑋}_1) +𝑀 \left({𝑋}_2\right) + \dots +𝑀 ({𝑋}_{𝑛})}{𝑛}\right|<\mathrm{\epsilon }\right)=1.$

• Если ${𝑋}_1, {𝑋}_2, \dots , {𝑋}_{𝑛}, \dots$ – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание a, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то:

$\underset{𝑛\to \infty }{\lim } 𝑃 \left(\left|\frac{{𝑋}_1 + {𝑋}_2+ \dots + {𝑋}_{𝑛}}{𝑛}-𝑎\right|<\mathrm{\epsilon }\right)=1.$