Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа $ε$ , не меньше, чем $1-\frac{\mathrm{D} \left(X\right)}{{\mathrm{\epsilon }}^2}$:

$P\left(\left|X-\mathrm{M} \left(X\right)\right|<\mathrm{\epsilon }\right)\ge 1-\frac{\mathrm{D}\left(X\right)}{{\mathrm{\epsilon }}^2}.$

Для случайной величины $X=m$ (число появления события в n испытаниях), имеющей биномиальный закон распределения $P_{m, n}=C_n^m\cdot p^m\cdot q^{n-m}$ с математическим ожиданием $M\left(X\right)=np$ и дисперсией $D\left(X\right)=npq$, неравенство будет выглядеть следующим образом:

$P\left(\left|m-np\right|<\mathrm{\epsilon }\right)\ge 1-\frac{npq}{{\mathrm{\epsilon }}^2}.$

Наиболее полезным с практической точки зрения является правило трёх сигм:

$P\left(\left|X-a\right|<3\mathrm{\sigma }\right)\ge \frac{8}{9}=\text{0}\text{,88}\left(\text{8}\right).$