Облако знаний. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Математика. 11 класс

Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва

Неравенство Маркова. Если неотрицательная случайная величина X имеет математическое ожидание M (X), то для любого положительного числа $ε > 0$ :
$P (X \geq ε) \leq \frac{M (X)}{ε} .$
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа $ε$ , не меньше, чем $1 - \frac{D (X)}{ε^{2}}$ :
$P (|X - M (X)| < ε) \geq 1 - \frac{D (X)}{ε^{2}} .$
Неравенство Чебышева можно записать в другой форме:
$P (|X - M (X)| \geq ε) < \frac{D (X)}{ε^{2}} .$
Для случайной величины $X = m$ (число появления события в n испытаниях), имеющей биномиальный закон распределения $P_{m, n} = C_{n}^{m} \cdot p^{m} \cdot q^{n - m}$ с математическим ожиданием $M (X) = n p$ и дисперсией $D (X) = n p q$ , неравенство будет выглядеть следующим образом:
$P (|m - n p| < ε) \geq 1 - \frac{n p q}{ε^{2}} .$
Наиболее полезным с практической точки зрения является правило трёх сигм:
$P (|X - a| < 3 σ) \geq \frac{8}{9} = 0,88 (8) .$
Оно означает, что для любой случайной величины X вероятность попадания в промежуток $[a - 3 σ, a + 3 σ]$ составляет больше 88 %.

Было полезно?