Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва

• Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа $\mathrm{\epsilon }$ , не меньше, чем $1-\frac{𝐷\left(𝑋\right)}{{\mathrm{\epsilon }}^2}$:

$𝑃 \left(\left|𝑋-𝑀\left(𝑋\right)\right|<\mathrm{\epsilon }\right)\ge 1-\frac{𝐷\left(𝑋\right)}{{\mathrm{\epsilon }}^2}.$

• Неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

$𝑃 \left(\left|𝑋-𝑀\left(𝑋\right)\right|\ge \mathrm{\epsilon }\right)<\frac{𝐷\left(𝑋\right)}{{\mathrm{\epsilon }}^2}.$

• Для случайной величины $𝑋=𝑚$ (число появления события в n испытаниях), имеющей биномиальный закон распределения ${𝑃}_{𝑚, 𝑛}={𝐶}_{𝑛}^{𝑚}\cdot {𝑝}^{𝑚}\cdot {𝑞}^{𝑛-𝑚}$ с математическим ожиданием $𝑀\left(𝑋\right)=𝑛𝑝$ и дисперсией $𝐷\left(𝑋\right)=𝑛𝑝𝑞$, неравенство будет выглядеть следующим образом:

$𝑃 \left(\left|𝑚-𝑛𝑝\right|<\mathrm{\epsilon }\right)\ge 1-\frac{𝑛𝑝𝑞}{{\mathrm{\epsilon }}^2}.$