Свойства сравнений по модулю

• Числа $a$ и $b$ дают одинаковые остатки по модулю $m$:
  

  $a\equiv b \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right).$

• Сравнение по модулю можно почленно складывать, вычитать, умножать на число и перемножать.

• Пусть $a$ ≡ $b$(mod $m$), $c$ ≡ $d$ (mod $m$). Тогда

$a+c\equiv b+d\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);$

$a-c\equiv b-d \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);$

$ka\equiv kb \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);$

$ac\equiv bd \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right).$

• Обе части сравнения можно возводить в любую натуральную степень.

  Пусть a ≡ b (mod  m). Тогда

  a ≡ b² (mod m);

  a³ ≡ b³ (mod m);

  …

  aⁿ ≡ bⁿ (mod m), n ∈ ℕ.