Свойства сравнений по модулю

• Числа $a$ и $b$ дают одинаковые остатки по модулю $m$:

• $a$ $\equiv b$ ($\text{mod}$ $m$).

• Сравнение по модулю можно почленно складывать, вычитать, умножать на число и перемножать.

• Пусть $a$ ≡ $b$(mod $m$), $c$ ≡ $d$ (mod $m$). Тогда

$a+c\equiv b+d\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);$

$a-c\equiv b-d \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);$

$ka\equiv kb \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);$

$ac\equiv bd \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);$

• Обе части сравнения можно возводить в любую натуральную степень.

• Пусть $a\equiv b \left(\text{mod}m\right)$. Тогда

$\begin{array}{c}{a}^2\equiv b^2\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);\\ a^3\equiv b^3 \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right);\\ \begin{array}{c}\dots \\ a^n\equiv b^n \left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} m\right), n\in \text{ℕ}\text{.}\end{array}\end{array}$