Производная произведения функций

• Если функции $y=u \left(x\right)$ и $y=\text{υ} \left(x\right)$ имеют производную в точке x, то и их произведение $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \text{υ}\left(x\right)$ также имеет производную в этой точке, равную:

$f^{\prime }\left(x\right)=u^{\prime }\left(x\right) \text{υ}\left(x\right)+u\left(x\right){ \text{υ}}^{\prime }\left(x\right).$

• Коротко это равенство записывают так:

  ${\left(u\text{υ}\right)}^{\prime }=u^{\prime }\text{υ}+u{\text{υ}}^{\prime }.$

  В частности, ${\left(kx\right)}^{\prime }=k$, где k = const.

  Пример.

  ${\left(x\cdot \left(x^4+x^2-1\right)\right)}^{\prime }=x^{\prime }\cdot \left(x^4+x^2-1\right)+x\cdot {\left(x^4+x^2-1\right)}^{\prime }=$

  $=1\cdot \left(x^4+x^2-1\right)+x\cdot \left(4x^3+2x\right)=x^4+x^2-1+4x^4+2x^2=5x^4+3x^2-1.$