Производная частного функций

• Если функции $u\left(x\right)$ и υ $\left(x\right)$ имеют производную в точке x и в этой точке $υ\left(x\right)\ne 0$, то их частное $f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{\mathrm{\upsilon }\left(x\right)}$ также имеет производную в этой точке, равную:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{u^{\prime }\left(x\right)\text{υ}\left(x\right)-u\left(x\right){ \mathrm{\upsilon }}^{\prime }\left(x\right)}{{\mathrm{\upsilon }}^2\left(x\right)}.$

• Коротко это равенство записывают так:

  ${\left(\frac{u}{\text{υ}}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }\mathrm{\upsilon }-u\mathrm{\upsilon }\prime }{{\mathrm{\upsilon }}^2}.$

  Пример.

  
  ${\left(\frac{x-2}{x+2}\right)}^{\prime }=\frac{{\left(x-2\right)}^{\prime }\left(x+2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)\prime }{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{x+2-\left(x-2\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{4}{{\left(x+2\right)}^2}.$